因式分解指的是把一个多项式表示成几个既约因式的乘积，它是整数中素因数分解的推广与发展。它们不仅有着类似的概念，在整除性质和论证的理论方面也是平行的。
学习因式分解，主要讨论两个基本问题。因为对一个多项式进行因式分解时，要求分解到不能再分解为止，这就提出了第一个基本问题，怎样判断一个多项式是否可约。第二个基本问题是如果一个多项式是可约的，究竟如何去分解。这两个基本问题是紧密联系着的，如果对于一个多项式，我们有办法把它分解成既约因式的乘积，那么第一个问题也就解决了。
关于第一个问题的回答是具有相对性的，这就是说，一个多项式是否可约，是相对于什么数的范围内来说的。例如分解的因式：在有理数范围内，得：
在实数范围内，等式右边的第二个因式可以再分解，得：
在复数范围内，等式右边的第一个因式，还可以分解成下面的形式：
一个多项式是否可约的相对性，并不是因式分解独有的特性，一个方程是否有解，两个数学式子是否恒等，都有类似的情况，甚至一个有理式是整式，还·是分式，也要看对哪一个字母来说的，等等，象这种一个数学概念在不同的数的范围内有不同的意义，的确是数学教学中应该注意的一个问题。
现在我们先来回答第一个问题。
在复数范围内，只有一次式是既约的，任何次数大于1的多项式，都可以分解成一次因式的乘积。
在实数范围内，次数3的多项式总是可约的，这就是说，在实数范围内，除一次式是既约的以外，，可能有的二次式也是既约的，一个一元二次多项式是既约的充分必要条件是判别式，但是不存在次数3的既约多项式。
在有理数范围内，情况比较复杂，除一次式是既约的以外，次数高于1.的多项式，都可能是既约的。也有一些判定多项式是否可约的定理，例如有一个称为艾森斯坦因既约性判定法，就是如下的定理：
设是一个整系数多项式，如果它的首项系数以外的所有各项的系数都能被某一素数整除，而常数项可被整除，但不能被整除，那么在有理数范围内是既约的。
例如，
又如，，对于这个多项式不能直接应用艾森斯坦因判定法，也可以应用变数代换法，令，于是
取，就满足艾森斯坦因判定法的条件，在有理数范围内是既约的，因此在有理数范围内是一个既约多项式。
可以看出，这个判定法适用的范围并不广，这里我们就不予讨论了。
关于第二个问题，有一个重要的定理：
任何一个次数的多项式，都可以分解为有限个既约多项式的乘积；并且这种分解式除去因式的次序及常数因式外是唯一的。
这个定理常称为分解唯一性定理，证明这个定理，需要从存在性与唯一性两个方面说明。我们略去它的证明，因为在一般的书中可以找到它的详细论证过程。遗憾的是这个重要定理，一点也没有告诉我们怎样去对一个多项式进行因式分解，仅是说明了分解因式的可能性。但是不要认为这一个屡见的定理，在任何数域内都成立，在有的数域内，例如形如的数集就是一个数域，在这个数域内，分解唯一性定理就不成立，如数9就可以有两种不同的分解式：
在代数数论中专门讨论这个问题，我们就不去管它了。
第二个问题的回答，我们指的是有没有一个一般的方法，或者更明确点说，有没有一个确定的方法，经过有限次的算术运算，把一个多项式分解为既约因式的乘积。这个问题的答案，和第一个问题的答案正好相反，在复数和实数范围内是否定的，但在有理数范围内却是肯定的，就是下面的克伦奈克定理：
任何一个次数1的有理系数多项式，总可以经过有限次算术运算把它分解为有理系数既约多项式的积。
我们也略去证明，举例说明它的基本思想和方法。
设有多项式：
容易根据有理系数多项式的根的性质验证，这个多项式没有有理根，也就是说，多项式f(x)没有一次因式。因此，如果f(x)是可约的，它至少含有一个二次因式，而且是整系数的，并且最高次项的系数是1，因为f(a)中最高次项的系数等于1。如果f(x)可约，则它二次因式必具下形：
其中p、q是整数。这样，对于任何整数t，f(t)应该能被g(t)整除。下面我们来求g(x)，即求p与q的值。
取t=0，-1(这是为了计算简便，取其他整数也可以)。计算得f(0)=2，f(-1)=-1，那么g(0)，g(-1)的值只可能是2与-1的约数，组合起来共有八组。从这八组中作试除，例如取g(0)=1，g(-1)=1一组，代入(1)式，得
g(0)=q=1，g(-1)=1-p+q=1
解得：，所以，以g(x)试除f(x)，恰好除尽，
这样，我们就达到分解f(x)的因式的目的，其余七组也就不必再考虑了。
关于第二个问题，在中学数学课本里给出了因式分解的几个常用的方法，需要对不同的多项式应用不同的方法。
首先是提取公因式法。这个方法的理论根据是分配性质的应用，在运用这种方法时，要对所要分解的多项式进行观察，先看各项系数有没有公因数，如果有，就把公因数提出来，其次要观察各项中有没有公有字母，如果有的话也把公有字母的最低幂提出来，这两种提取方法的不同之处在于提公因数时，要提公因数中数值最大的，字母的容则要提取次数最小的。一个说最大的，一个说最小的，实质上是一致的，即‘提取数字系数的最大公因数，以及公有字母式的最高公因式。因为提取公因式法是最基本的方法，所以也是最重要的方法。
其次是应用公式法，常用的几个公式包括二次的和三次的，还有一些练习题目，也可以作为公式来应用，记住这些公式并不困难，只要教师在讲解公式时，指出公式的特点，它们的项数，次数，符号等等就可以了，问题是对于初学者来说，一个多项式具有某一公式的形式，不是一下子看得出来的，例如公式中，左边的多项式有三项，各项次数都是2，系数之比是1:2:1，这些都是明显的。但对于象或者
中学数学课本里提到的第三种方法是一个关于二次三项式的公式，
如果首项系数不是1，则有
为了直观，一般用图解的方法，
它们称为十字相乘法或叉乘法，究竟起个什么名字好，并不是主要的，它不仅可以用于一元多项式，还可以用于多元多项式，而且也不限于二次的。例如，
等等，在(2)中把看作二次三项式的变数，就可以直接应用公式。把(3)、(4)看作关于或的二次式，也可以直接应用公式。基本公式就是一个，在教学中要教给学生透彻理解最基本的形式，这是主要的，通过一定数量的练习达到熟练的程度，也要培养学生灵活运用基本形式，处理较复杂的多项式。
最后一种方法是分组分解法，这种方法更需要有灵活的机智，如果给出的多项式，不便于直接应用前面所提到的各种方法，必须经过适当分组才能应用，由于多项式的形式有各种各样，分1组的方法相应地也有不同的情况，例如一个四项式可以分为一项与三项两组，可以分为二项与二项两组，个别的，还需要补项变成六项式，那么就可能分为一项与五项，二项与四项，三项与三项或者二项一组分为三组，教学中要善于启发学生共同观察，分析研究多项式的特点，从而确定分组的方法，一旦得到合理的分组方法，具体分解就不困难了，可以让学生独立完成。由于情况复杂多样，适当讨论几个类型的分组方法，提高学生分析与解决问题的能力是必要的，但是企图各种情况都加以讨论，易使学生烦而生厌，贪多求全是有害的，反而会影响效果，是一个值得注意的问题。
因式分解的内容对教与学都有一定的困难，对教师来说，对于第一个基本问题，由于学生基础知识所限，说得很清楚并不容易，对学生来说，第二个基本问题需要一定的分析判断能力，较短时间内也不易掌握，然而，正因为如此，因式分解确是发展学生智力的好课题，在学生逐步领会并掌握因式分解的概念与方法后，受益是非浅的。教师的责任就在于通过知识的传授，使学生获得发展与创造知识的能力，而不能满足于学会一些相对固定的解题方法，这一点在中学数学教学中是具有普遍的重要意义的。